方程的意义教学与反思
回顾我的教学，我认为有如下几个特点：
1、设置情景引导，促进学生的自主学习
在执教中通过天平的演示: 认识天平，同学们说天平的作用、用法。让他们对天平建立起一个初步的认识。
2、合作交流，总结概括
通过对天平的观察得出等式的概念，接着应让学生自己独立思考。通过比较等式与方程，以及不等式与方程的不同，得出方程的概念，体现学生自主学习的能力，而不应该替学生很快的说出答案，在将出方程的概念后，应该让学生通过变式训练明白不仅X可以表示未知数，其他的字母都可表示未知数。在此教学过程中，教师应充当一个导游的角色，站在知识的岔路口，启发诱导学生发现知识，充分发挥学生的学习潜能，将有一定难度的问题放到小组中，采用合作交流的方式加以解决，逐步的引导学生对问题的思考和解决向深发展，有利于培养学生的倾听习惯和合作意识。
3、回归生活，体会方程
在建立方程的意义以后，设计了根据情境图写出相应的方程，并在最后引入生活实例，从中找出不同的方程。这一过程学生在生活实际中寻找等量关系列方程，进一步体会方程的意义，加深了对方程概念的理解，同时也为以后运用方程知识解决实际问题打下基础。
从学生已有的知识储备来看，他们会用含有字母的式子表示数量，大多数学生知道等式并能举例，向学生提供表示天平左右两边平衡的问题情境，大部分学生运用算术方法列式。但是，学生已有的解决数学问题的算术法解题思路对列方程会造成一定的干扰。对于利用天平解决实际问题较感兴趣，但是，要求学生把看到的生活情境转化成用数学语言、用关系时表示时可能存在困难，对于从各种具体情境中寻找发现等量关系并用数学的语言表达则表现出需要老师引导和同伴互助，需要将独立思考与合作交流相结合。
课堂上让学生借助于天平平衡与不平衡的现象列出表示等与不等关系的式子，为进一步认识等式、不等式提供了观察的感性材料，然后引导学生对式子分类，建立等式概念，并举出新的生活实例进行强化．最后引导学生分析、判断，明确方程与等式的联系与区别，深化方程的概念。
知识点一：列方程解决问题（3）
1.复习整理学过的例1、2、3、4
例1：利用计算公式来建立等量关系
例2：和倍问题
例3：差倍问题
例4：和差问题
带着学生整理思考以下几个问题：
关于和倍问题的思考：
（1）和倍中“和”表示什么？“倍”出现在哪里？
（2）一般根据“倍”来设，并设一倍数为x。那设几倍数为x可以吗?
（3）那根据“和”来设未知数，根据“倍”这句话来列方程可以吗？
（4）比较之后，怎样解设列方程更方便？
关于“差倍”问题的思考：
（1）差倍中的“差”体现在哪里？
（2）“差倍”问题和“和倍”问题有相同点吗？不同点在哪
（3）“差”这句话可以写多个等量关系，哪种写法更好？
关于“和差”问题的思考：
（1）根据哪句话来设更简单呢？怎么设？
（2）不同的设法列出的方程一样吗？这里x表示的含义一样吗？
带着这些问题，和学生一起讨论，探究、交流、思辨。
孩子们总结出以下几点：
1）例题中都是两个量的问题。已知两个量的和、倍、差，来求其中的两个量。
2）线段图能帮助我们直观发现两个量之间的关系，更容易找到等量关系。
一要会画图，并且信息都要标清楚。倍在哪？和在哪？差在哪？
二要会读图。画出的线段图，就可以直接编出应用题了。学生们都会说出三段话：说已知，说关系，说问题。
3）和倍问题可能是三个量的和倍；这里的“倍”还可以变成“几倍多几”或“几倍少几”。
知识点二：列方程解决问题（3）
1、相遇和追及问题
相遇问题：
通过题组的方式，让学生发现不同类型的相遇问题。
变的是问题，不变的是等量关系及类似的线段图。从而建构相遇模型。
课堂中引导学生思考的问题：
1、一些关键词：同时、相对、相向、相遇。
2、两个物体同时出发直到相遇，时间一样吗？
3、线段图如何画？等量关系是什么？
题组：
1、沪宁高速公路全长约270千米，一辆轿车和一辆客车分别从上海到南京两地同时出发，相向而行。轿车平均每小时行100千米，客车平均每小时行80千米，经过几小时相遇？
2、沪宁高速公路全长约270千米，一辆轿车和一辆客车分别从上海到南京两地同时出发，相向而行，经过1.5小时相遇。轿车平均每小时行100千米，客车平均每小时行多少千米？
3、沪宁高速公路全长约270千米，一辆轿车和一辆客车分别从上海到南京两地同时出发，相向而行，经过1.5小时相遇。客车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行多少千米？
像这样的题组，学生观察后发现用到的等量关系一样，都是：轿车行的路程+客车新的路程=相距的路程。
（100+80）x=270
1.5（x+80）=270
1.5（100+x）=270
后续还可以增加，从同一地点反向行驶的相遇问题；环形跑道的相遇问题，以及“水池注水”、“购置桌椅”、“合作零件”等类相遇问题。通过题组变式训练，让学生体会到“相遇”类问题的应用不止于具体的行程问题，同时也广泛地应用于各种生活问题中。
追及问题：
课堂中引导学生思考的问题：
1、客车和轿车不管怎么走，路程一样吗？
2、客车行驶了几段？轿车呢？线段图该怎么画？
3、轿车行驶的时间和客车行驶的第二段时间有什么关系？
4、根据线段图，等量关系是什么？
为了让学生更容易理解相遇和追及问题，通过动画演示、现场学生演示、画线段图等方式来思考这些问题，最终找到等量关系。
不必求全，意在求变；不必求全，意在求联；不必求全，意在求通。顾老师的“题组模块会说话”还是给我很大的启发。
后续还有稍微复杂的相遇和追及问题。这里要逐步学会画线段图，找等量关系，通过题组练习，对“相遇”和“追及”模型有更清晰的认识。后面复杂的问题也会迎刃而解。
数学开放题问题解决的契机
数学开放题就是“具有多种不同的解法或者有多种可能的解答的问题”。 从学生学习行为的表现形式看，开放题可以分为操作型开放题，表现型开放题，陈述型开放题和综合型开放题等。
数学开放题问题解决就是“以适应客观世界运动变化之需要为目的的辩证的动态思维过程”。其问题是指学生“综合地、创造性地应用各种数学知识去解决那些并非单纯练习题形式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题”。
不同开放题，问题解决的契机也各不相同。
所谓操作型开放题，就是考查学生动手技能的开放题，如数学实验等。数学实验操作是一种定向的心智活动，其方向决定于教学目标，其过程和结果要有利于揭示实验过程中知识间的内在联系。
如苏教版六年级上册教学“百分数”时，教材中有这样一道开放题：在一个盘子里铺几层滤纸或纱布，喷洒适量的水，并均匀地铺上50粒黄豆或蚕豆种子做发芽试验。
每天记录发芽的种子数，7天后算出发芽率。问题解决的契机可以是学生学习这道题时进行操作，也可以由教师提前布置（学生学百分数之前就可以开始实验，也可以在不同季节进行实验操作，以便不同季节的发芽率等）。
不同契机的操作，不同的操作对象，实验结果未必完全一致。
所谓表现型开放题，就是考查学生的口头表达能力与交流沟通能力的开放题,如编数学故事等。
天才数学家阿贝尔（近世代数的开山鼻祖）认为很多问题因为没有好的表述导致看起来很难，其实不过如此。换句话说，教师如果要帮助学生理解并掌握数学概念时，可以设计表现型开放题让学生进行问题解决，以便既培养学生的表达能力，又帮助学生进一步把数学概念更加数学化、具体化和形象化。
教学“方程的意义”时，学生认识了方程的意义后，教师可以出示方程3x=24，让学生根据方程编数学故事，学生可以根据自己的生活经验和知识经验编出各种不同的数学故事。
其问题解决的契机是学生学习了相关内容尚未完全理解和掌握时，应用表现型开放题一方面能帮助学生强化了对方程式概念的理解，另一方面能帮助学生提升语言表达能力和交流沟通能力。
所谓陈述型开放题，就是考查学生综合处理信息能力与书面表达能力的开放题，如数学小论文，数学小调查等。
苏教版教材中有很多小调查需要学生借助学生的书面陈述才能实现问题解决。
其契机就是学生调查后如实写出自己的体会。
如苏教版六年级上册“算出它们的普及率”就需要学生对拥有电话和电脑的家庭数进行调查，整理并计算，最后写出调查体会。
这样的开放性问题需要学生把自己调查后的感想概要写下来，虽然不是面面俱到，但需要学生根据调查结果和体会进行分析问题、提出问题和解决问题，从而使学生在问题解决过程中形成敏锐观察力、综合处理信息的能力和书面表达能力，从而增强创新意识，提高创新能力。
所谓综合型开放题，就是考查学生综合应用信息解决实际问题的能力的开放题，如论述题等。
这类开放题需要学生对题目给出的几种方案做出合理选择，从而得出一种最优化的方案。
问题解决的关键是通过对题开放题的信息进行全面分析，综合比较，判断优劣，从中寻得适合题意的最优方案。
如“我们一起去游园”中，某班有学生48人，准备一起坐汽车去游园，可以租的汽车有两种：一种汽车每辆120元，限乘客12人；另一种汽车每辆160元，限乘客18人。可以怎么租车？需要多少钱？
这里的方案有几种，学生需要综合运用所学知识，并且要联系生活实际考虑，不但能让所有学生都能一起坐汽车，还能尽量少花钱、不浪费。其问题解决的契机是学生有了相关知识基础，并且能结合生活经验进行思考问题，从而达到综合运用所学知识，理解数学本质。
数学开放题问题解决的实施
数学开放题的问题解决教学，需要教师通过创设情境激发学生强烈的求知欲望,使学生能充分体验和感受分析问题、解决问题的全过程,有效培养学生的应用意识、探索精神和实际操作能力。实施时，学生的主体作用和教师主导作用要努力做到相辅相成,不可偏废。
1、解读文本信息，整体规划思路
问题解决的基础是认真进行文本解读，深入挖掘文本内涵和弄清文本信息。同样的文本，不同的人有不同的阅读感受。同样的文本，不同教师处理的方法也不同。
究其原因，就在于各人对文本的解读不同。文本解读应真正体现以人为本。
解读文本信息，教师要努力从学生角度对文本作全方位、多层面、立体式的细究与深读，获得阅读体验后，再从文本“走出来”，用自己的智慧在学生与文本之间发现一个平衡点，然后从教师角度思考、整体规划问题解决的思路，实现问题解决的目标。
苏教版六年级下册（2014年版）第96页有这样一道习题：
仓库里有以下四种规格的长方形、正方形铁皮。
①长0.6米，宽0.4米；②长0.6米，宽0.5米；
③长0.5米，宽0.4米；④边长0.4米。
张师傅想从中选5张铁皮，焊接成一个无盖的长方体（或正方体）水箱，可以选哪几种规格的铁皮，各要选几张？你能找到多少种不同的选法？在下表中填一填。
规格①规格②规格③规格④容积/m3
选法一
选法二
选法三
选法四
这是一道综合性数学开放题。解决这个问题，教师首先要读懂文本中的信息：
有4种铁皮，规格各不相同，要焊的水箱只有5个面，可以是长方体形状或者正方体形状的，选择方法有很多，表中只需要选4种，并要求出各种选法的容积。
文本中的隐藏条件应该是每种铁皮的张数是足够的（或者说是可以忽略考虑的）。
问题解决的目标应该是通过学生探究发现不同的选法，一方面帮助学生巩固所学的长方体和正方体知识，另一方面培养学生的空间观念和发散思维，发展学生的数学综合素养。
根据这个目标，教师应引导学生经历问题解决的探究过程，使学生在独立思考，小组交流的基础上形成各组的方案，最后全班交流形成共识，优化方案，其基本过程是“创设问题情境——确定探究问题——确定解决方案——执行解决方案——总结反思评价”。纲举目张，有了方案，问题解决就就不会太难。
2、遵循认知规律，逐层推进研究
课堂教学是培养学生问题解决能力的重要途径，但仅通过课堂教学不够，还要教师引导学生在具体实践探索活动中发展与提高。
问题解决的实践探究是学生为解决问题而开展的探究活动，包括资料搜集、实地考察和动手操作等实践方式。
教师引导学生实施开放题问题解决时，要充分遵循学生的认知规律，才能事半功倍；否则，事倍功半。由于小学生年龄小，思维以形象思维为主，抽象思维还有所欠缺。
因此，教师要有的放矢地按照由感性到理性，由具体到抽象的教学思路，引导学生从实物操作开始，从学生已有的生活经验出发，密切联系学生的生活实际，为学生提供有趣味的、与生活背景有关的素材，启发学生思考，逐层推进研究，最终得出结论，达成问题解决的目标，并促进学生把在实际问题解决中所用的数学思维方法，能迁移类推到后续遇到相关问题中。
用铁皮焊水箱的案例中，教师先出示开放题中的铁皮规格信息，然后引导学生根据这些信息思考，说说自己能发现什么数学问题并且提出来，有的学生提出了“水箱的铁皮总面积是多少？” 的问题，有的学生提出了“水箱的体积是多少？” 的问题，有的学生提出了“水箱各条棱的棱长总和是多少？” 的问题，有的学生提出了“有几种焊接方案？”的问题……在此基础上，我出示问题“比一比，谁选的方案最多？”。
原来的问题情境变成了一个比赛情境。
这样创设情境，有利于激发学生的探究兴趣，而且有助于学生确认自己所要解决的问题，防止浪费时间解决可能根本不存在的问题，还有利于促进学生在情境中思考、探索、合作。果然，学生很快进入问题情境，先独立分析问题再解决问题。
小组交流时，学生展示了不同的解决方案：有的从形状方面考虑，先正方体形状后长方体形状；有的从不同规格的铁皮张数考虑，先1种规格、再两种不同规格、后3种不同规格；有的从水箱的面考虑，先考虑底面再考虑侧面……全班交流后，所有方案都全了，但体积只有4种可能，分别是0.4×0.4×0.4=0.064（立方米）、0.4×0.4×0.5=0.08（立方米）、0.6×0.4×0.5=0.12（立方米）和0.6×0.4×0.4=0.96（立方米）。学生为解决问题进行的实践，是学生通过探究和动手操作逐层研究问题的过程，是发展学生问题解决能力不可忽视的途径。
3、强化彼此关联，达成能效最优
现代教学观认为，学生发展的本质是他们自己通过活动促使自身内部运动的结果，外部作用只能促进学生的自身内部运动，肯定起不了替代作用。
因此，学生问题解决能力的发展归根结底是自我实现的过程。解决问题后，教师要努力引导学生沟通问题解决各环节之间的关联，力求达成能效最优。
这是因为学生是学习主体，也是发展主体，教师的主导作用只有通过学生主体才能发挥作用。
也就是说，教师要引导学生反思从发现问题、提出问题到分析问题、解决问题的全过程，进而引导学生评价自己在问题解决过程中的表现。
当然，学生的反思和评价的目的，不是为了证明自己的方案正确，而是为了对大家提出的所有方案逐一反思和评价，再对方案不断矫正、不断优化，以便将来解决类似问题时能使用最优化问题解决的方案。
铁皮焊水箱的案例中，学生反思时，我引导学生先努力回忆自己解决问题的全过程，并对解决问题的每个阶段分别进行追问，“我这样思考有没有遗漏其它信息？”、“除了这种方法，能不能采用其它方法解决问题？”、“我用的这种方法可不可以进一步变得更简洁？”……
经过这样追问，学生就能重新回忆起自己经历问题解决的全过程，从而发现自己的不足，甚至发现解决问题的更好方法。反思和总结过程也是对问题解决能力有所欠缺学生的一次补救，同样能促进学生问题解决能力的提升。
总之，小学生进行开放题问题解决，不仅需要相关领域的数学知识，而且要能对这些知识进行有意义的组合，这样才能形成问题解决方案，并从各种解决方案中寻求一种最满意的方案，在基础上解决问题，反思整个问题解决过程，从而使问题解决对新课程标准中的相关理念传播和有效实施起到积极的推动作用。
相关知识：
函数解方程的意义何在？
首先，如此的“基础”方程，用手就能解，其实要函数并没有什么大用。然而这代表一种思想，数形结合，其代表意义远大于其作为解简单的方程的实际意义。故，这个虽然看起来没什么用，对初中生实际也没什么用，但还是要学。毕竟是象征意义。
再者，这作为一个方法，到高中就会一展所长了。高中求变量范围只有三种方法，其一是函数，其二是不等式，其三是线性规划或非线性规划。函数和线性规划都要利用这个思想。如果学得深，不等式大都都是函数数形结合的思想。如果你质疑“不等式不是多元变量吗”，那么可以看看柯西不等式的“推广”hölder不等式的证明，或者看看幂平均不等式的证明，或者四个均值（调和平均，几何平均，算数平均，幂平均）的均值不等式（我戏称为大均值不等式）的另类证法，不都是Janson不等式吗……而Janson不等式不就是函数图像与其切线的关系吗。再想深入了解可以看看karamata不等式，作为一个非竞赛生，我觉得karamata是很厉害的函数不等式，在图像上比较难以直观看出，然而其结果又是如此令人信服。强！
高考导数压轴题常有超越方程，但是我们没法做。怎么办，求导，画图像，观察法，一般都是恒成立，恒不成立，或者看出来只有在某点成立。这时就会惊叹于初中学习的思想的前瞻性了。
到以后，你碰到一个超越方程，或者不好解的高次方程，但是因为科研或者作业要求必须解，怎么办？用二分法，或者牛顿法，这也利用了函数图像解方程的思想。
